Vector field regularization by generalized diffusion

Regularization is a common procedure when dealing with inverse problems. Because of the ill-posedness of many inverse problems, one needs to add some constraints as regularization to the problem in order to get a satisfactory solution. A difficulty when using multiple constraints is to properly choose a weighting parameter for each constraint. We propose here a vector field regularization method that combines in a single constraint the two well-known regularization methods namely Tikhonov regularization and smoothing regularization. The particularity of this new method is that one have only one balance parameter to determine. We also suggest a robust implementation of the proposed method based on the equivalent generalized diffusion equation in some particular cases. This implementation is illustrated on a set of vector fields of fluid motion Key-words: Regularization, generalized diffusion, vector field ∗ INRIA, Lab. Jean-Kuntzmann, BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9 France. E-mail : [email protected], [email protected], [email protected] in ria -0 03 60 90 4, v er si on 2 13 F eb 2 00 9 Régularisation de champs de vecteurs par diffusion généralisée Résumé : La régularisation est un processus courant dans la résolution des problèmes inverses. Son usage est lié à la nature mal posée de la plupart des problèmes inverses. La régularisation consiste à ajouter des contraintes supplémentaires au problèmes à résoudre en vue d’obtenir une solution satisfaisante. La qualité et la quantité des contraintes ajoutées permet d’avoir de meilleurs résultats. Le choix des paramètres de pondération des différentes contraintes dans le cas ou il y en a plusieurs est un problème délicat. Nous proposons ici une méthode de régularisation des champs de vecteurs qui combine les deux principales méthodes de la litérature à savoir la régularisation de Tikhonov et la régularisation par lissage. La particularité de cette méthode est qu’il y a un unique paramètre de poids à déterminer. Nous suggérons aussi une implémentation robuste de cette méthode dans certains cas particuliers. Cette implémentation est basée sur l’équation de diffusion généralisée. Cette implémentation est illustrée par des résultats sur des champs de vitesse d’écoulement fluide. Mots-clés : Régularisation, diffusion généralisé, champ de vecteurs in ria -0 03 60 90 4, v er si on 2 13 F eb 2 00 9 Vector field regularization by generalized diffusion 3